Question

（本小題滿分12分）為了了解某年段1000名學(xué)生的百米成績情況，隨機(jī)抽取了若干學(xué)生的百米成績，成績?nèi)�部介�?3秒與18秒之間，將成績按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）;……;第五組[17，18].按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前3個(gè)組的頻率之比為3∶8∶19，且第二組的頻數(shù)為8.

⑴將頻率當(dāng)作概率，請(qǐng)估計(jì)該年段學(xué)生中百米成績?cè)赱16，17）內(nèi)的人數(shù)；
⑵求調(diào)查中隨機(jī)抽取了多少個(gè)學(xué)生的百米成績；
⑶若從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績，求這兩個(gè)成績的差的絕對(duì)值大于1秒的概率.

Answer 1

（1）估計(jì)該年段學(xué)生中百米成績?cè)赱16,17)內(nèi)的人數(shù)為320人。
（2）調(diào)查中隨機(jī)抽取了50個(gè)學(xué)生的百米成績. （3）P(A )=。

解析試題分析：（1）根據(jù)頻率分步直方圖中小正方形的面積是這組數(shù)據(jù)的頻率，用長乘以寬得到面積，即為頻率．
（II）根據(jù)所有的頻率之和是1，列出關(guān)于x的方程，解出x的值做出樣本容量的值，即調(diào)查中隨機(jī)抽取了50個(gè)學(xué)生的百米成績．
（III）本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生所包含的事件是從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績，滿足條件的事件是成績的差的絕對(duì)值大于1秒，列舉出事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果．
解：（1）百米成績?cè)赱16,17)內(nèi)的頻率為0.321="0.32." 0.321000=320
∴估計(jì)該年段學(xué)生中百米成績?cè)赱16,17)內(nèi)的人數(shù)為320人。   ……2分
（2）設(shè)圖中從左到右前3個(gè)組的頻率分別為3x，8x ，19x 依題意，得 3x+8x+19x+0.321+0.081="1" ，∴x=0.02     ……4分　
設(shè)調(diào)查中隨機(jī)抽取了n 個(gè)學(xué)生的百米成績，則   ∴n=50
∴調(diào)查中隨機(jī)抽取了50個(gè)學(xué)生的百米成績.     ……6分
（3）百米成績?cè)诘谝唤M的學(xué)生數(shù)有30.02150=3，記他們的成績?yōu)閍，b，c
百米成績?cè)诘谖褰M的學(xué)生數(shù)有0.08150= 4，記他們的成績?yōu)閙，n，p，q
則從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績包含的基本事件有
{a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n},
{c,p},{c,q},{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q}，共21個(gè)          ……9分
設(shè)事件A為滿足成績的差的絕對(duì)值大于1秒，則事件A所包含的基本事件有{a,m},{a,n},{a,p},{a,q}，{b,m},{b,n},{b,p},{b,q}，{c,m},{c,n},{c,p},{c,q}，共12個(gè)，……10分
所以P(A )=      ……12分
考點(diǎn)：本試題主要考查了樣本估計(jì)總體，考查古典概型的概率公式，考查頻率分布直方圖等知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力和分析問題、解決問題的能力。
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用直方圖得到各個(gè)區(qū)間的概率值，進(jìn)而結(jié)合古典概型概率公式，確定基本事件空間，和事件A發(fā)生的基本事件數(shù)，進(jìn)而得到結(jié)論。