Question

如圖，已知，A是拋物線y²=2x上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作圓（x-1）²+y²=1的兩條切線分別切圓于E、F兩點(diǎn)，交拋物線于M、N兩點(diǎn)，交y軸于B、C兩點(diǎn)。

（1）當(dāng)A點(diǎn)坐標(biāo)為（8，4）時(shí)，求直線EF的方程；
（2）當(dāng)A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）時(shí)，求直線MN的方程；
（3）當(dāng)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2時(shí)，求△ABC面積的最小值。

Answer 1

解：（1）∵D、E、F、A四點(diǎn)共圓，
∴EF是圓及（x-1）（x-8）+y（y-4）=0的公共弦，
∴EF的方程為7x+4y-8=0。
（2）設(shè)AM的方程為y-2=k（x-2），即kx-y+2-2k=0，由其與圓（x-1）²+y²=1相切得

∴
把與聯(lián)立可得
易得N（2，-2），
∴MN的方程為3x+2y-2=0。
（3）設(shè)A（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），不妨設(shè)b>c，直線PB的方程為

即
又圓心（1，0）到AB的距離為1，
所以
故
又x₀>2，上式化簡(jiǎn)得
同理有
故b，c是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根
所以
則
因?yàn)锳（x₀，y₀）是拋物線上的點(diǎn)，
所以有
則
∴

所以當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，
此時(shí)
因此S_△ABC的最小值為8。