Question

、如圖：已知橢圓是長軸的一個端點，弦BC過橢圓的中心O，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）若AB上的一點F滿足求證：CF平分∠BCA；

（3）對于橢圓上的兩點P、Q，∠PCQ的平分線總是垂直于x軸時，是否存在實數(shù)λ，使得

 

Answer 1

【答案】

（1）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）存在實數(shù)λ，使得.

【解析】(I)

又,∴△AOC是等腰直角三角形.

這樣可由A(2,0),得到C（1，1），根據(jù)點C在橢圓上，a=2,可求出橢圓方程.

（II）因為,

從而可知F為有向線段BA的內(nèi)分點，再借助分點坐標公式求出F的坐標.再證明即可.

（III）對于橢圓上兩點P、Q，∵∠PCQ的平分線總是垂直于x軸

  ∴PC與CQ所在直線關(guān)于x=1對稱，k_pC=k，則k_cQ=－k，設(shè)C（1，1），則PC的直線方程y－1=k(x－1)y=k(x－1)+1 ，QC的直線方y(tǒng)－1=－k(x－1) y=－k(x－1)+1，將直線PC的方程與橢圓方程聯(lián)立消y得關(guān)于x的一元二次方程，可知x=1是其方程的一個根，這樣可根據(jù)韋達定理可求出另一個根x_p;同樣的方法可求出x_Q,從而可利用求出PQ斜率，如果與AB的斜率相等，就說明這兩個向量共線，從而說明存在實數(shù)λ，使得.

解：

又

∴△AOC是等腰直角三角形. ∵A（2，0），∴C（1，1）而點C在橢圓上，

∴.   ∴所求橢圓方程為

（Ⅱ）證明C（1，1），則B（－1，－1）

又

即點F分所成的定比為2.  設(shè)

CF⊥x軸，  ∴∠ACF=∠FCB=45°，即CF平分∠BCA.

（Ⅲ）對于橢圓上兩點P、Q，∵∠PCQ的平分線總是垂直于x軸

  ∴PC與CQ所在直線關(guān)于x=1對稱，k_pC=k，則k_cQ=－k，

  設(shè)C（1，1），則PC的直線方程y－1=k(x－1)y=k(x－1)+1  ①

QC的直線方y(tǒng)－1=－k(x－1) y=－k(x－1)+1  ②

  將①代入得(1+3k²)x²－6k(k－1)x+3k²－6k－1=0  ③

  ∵C（1，1）在橢圓上，∴x=1是方程③的一個根，

  ∴x_p·1==1同理將②代入x²+3y²=4得

（1+3k²）x²－6k(k+1)x+3k²+6k－1=0  ④

 ∵C（1，1）在橢圓上，          ∴x=1是方程④的一個根，

 ∴x_Q·1=

 

 ∴存在實數(shù)λ，使得.