Question

下列命題中所有正確的序號是

（1）（3）（4）

．
（1）A=B=N，對應(yīng)f：x→y=（x+1）²-1是映射；
（2）函數(shù)f(x)=

x2-1

+

1-x2

和y=

x-1

+

1-x

都是既奇又偶函數(shù)；
（3）已知對任意的非零實(shí)數(shù)x都有f(x)+2f(

1

x

)=2x+1，則f（2）=-

1

3

；
（4）函數(shù)f（x-1）的定義域是（1，3），則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，2）；
（5）函數(shù)f（x）在（a，b]和（b，c）上都是增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在（a，c）上一定是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)映射的定義進(jìn)行判斷，考慮對應(yīng)法則；
（2）∵函數(shù)f(x)=

x2-1

+

1-x2

和y=

x-1

+

1-x

，根據(jù)f（-x）與f（x）的關(guān)系進(jìn)行判斷；
（3）已知對任意的非零實(shí)數(shù)x都有f(x)+2f(

1

x

)=2x+1，令x=

1

x

代入，解出f（x），從而求解；
（4）∵函數(shù)f（x-1）的定義域是（1，3），即1＜x＜3，利用整體法進(jìn)行求解；
（5）根據(jù)函數(shù)f（x）在（a，b]和（b，c）上都是增函數(shù)，因?yàn)閒（c）點(diǎn)是否連續(xù)，不知道，從而不能判斷函數(shù)f（x）在（a，c）上一定是增函數(shù)．

解答：解：（1）A為自然數(shù)集，對應(yīng)法則y=（x+1）²-1，計(jì)算結(jié)果也是非負(fù)整數(shù)，對任意x∈N，都有y∈N，故（1）正確；
（2）∵f(x)=

x2-1

+

1-x2

，∴f（-x）=f（x）為偶函數(shù)，故（2）錯(cuò)誤；
（3）∵對任意的非零實(shí)數(shù)x都有f(x)+2f(

1

x

)=2x+1，
∴f（

1

x

）+2f（x）=

2

x

+1，聯(lián)立方程得：f（x）=-

2

3

x+

4

3x

+

1

3

，∴f（2）=-

4

3

+

2

3

+

1

3

=-

1

3

；故（3）正確；
（4）∵函數(shù)f（x-1）的定義域是（1，3），1＜x＜3，∴0＜x-1＜2，∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，2），故（4）正確；
（5）函數(shù)f（x）在（a，b]和（b，c）上都是增函數(shù)，若f（x）在c點(diǎn)不連續(xù)，就不能說f（x）在（a，c）上一定是增函數(shù)，故（5）錯(cuò)誤；

點(diǎn)評：此題主要考查映射的定義，奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)，命題（3）是一道好題，注意把x換為

1

x

，使問題迎刃而解，此題綜合性比較強(qiáng)．