在三角形ABC,已知tan
A+B
2
=sinC,下列四個論斷中正確的是( 。
①tanA•cotB=1;   ②0<sinA+sinB≤
2
;   ③sin2A+cos2B=1;   ④cos2A+cos2B=sin2C.
分析:先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式化簡整理題設(shè)等式求得cos
A+B
2
=
2
2
進而求得A+B=90°進而求得①tanA•cotB=tanA•tanA等式不一定成立,排除;②利用兩角和公式化簡,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得其范圍符合,②正確;
③sin2A+cos2B=2sin2A不一定等于1,排除③;④利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可知cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1,進而根據(jù)C=90°可知sinC=1,進而可知二者相等.④正確
解答:解:∵tan
A+B
2
=sinC
sin
A+B
2
cos
A+B
2
=2sin
A+B
2
cos
A+B
2

整理求得cos
A+B
2
=
2
2

∴A+B=90°.
∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1,①不正確.
∴sinA+sinB=sinA+cosA
=
2
sin(A+45°)
45°<A+45°<135°,
2
2
<sin(A+45°)≤1,
∴1<sinA+sinB≤
2
,
所以②正確
sin2A+cos2B=sin2A+sin2A=2sin2A≠1,③不正確.
cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1,
sin2C=sin290°=1,
所以cos2A+cos2B=sin2C.
所以④正確.
故選B.
點評:本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值.考查了學(xué)生綜合分析問題和推理的能力,基本的運算能力.
練習(xí)冊系列答案
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在三角形ABC中,已知A,b=1,其面積為,則為  (    )

A.          B.         C.           D.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

在三角形ABC,已知tan
A+B
2
=sinC,下列四個論斷中正確的是( 。
①tanA•cotB=1;   ②0<sinA+sinB≤
2
;   ③sin2A+cos2B=1;   ④cos2A+cos2B=sin2C.
A.①③B.②④C.①④D.②③

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在三角形ABC,已知=sinC,下列四個論斷中正確的是( )
①tanA•cotB=1;   ②0<sinA+sinB≤;   ③sin2A+cos2B=1;   ④cos2A+cos2B=sin2C.
A.①③
B.②④
C.①④
D.②③

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在三角形ABC中,已知A, b=1,其面積為, 則=________.

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