Question

本題設(shè)有（1）（2）（3）三個(gè)選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分．作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．
（1）已知矩陣M=

1 a b 1

，N=

c 2 0 d

，且MN=

2 0 -2 0

，
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直線y=3x在矩陣M所對應(yīng)的線性變換下的像的方程．
（2）在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為

x=3- 2 2 t y= 5 - 2 2 t

（t為參數(shù)）．在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=2

5

sinθ．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，

5

)，
求|PA|+|PB|．
（3）已知函數(shù)f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x）+f（x+5）≥m對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：選作題1：（Ⅰ）由矩陣MN的表達(dá)式，把他們相乘使左邊等于右邊既可求解實(shí)數(shù)a，b，c，d的值．
（Ⅱ）矩陣M所對應(yīng)的線性變換將直線變成直線，可選直線y=3x上的兩點(diǎn)做矩陣M所對應(yīng)的線性變換下的像，即可確定原直線的像．
選做題2：（Ⅰ）由極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直線坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)系，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求出兩實(shí)根的關(guān)系式，再有t的幾何意義求解．
選做題3：（Ⅰ）首先把函數(shù)的參數(shù)表達(dá)式≤3，解不等式求出a的值．
（Ⅱ）由上題解得的當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|x-2|，可設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+f（x+5），求出g（x）的函數(shù)表達(dá)式使其≥m對一切實(shí)數(shù)x恒成立．求解M的范圍．

解答：（1）選修1：解：（Ⅰ）由題設(shè)得

c+0=2 2+ad=0 bc+0=-2 2b+d=0

，解得

a=-1 b=-1 c=2 d=2

；
（Ⅱ）因?yàn)榫仃嘙所對應(yīng)的線性變換將直線變成直線（或點(diǎn)），所以可取直線y=3x上的兩（0，0），（1，3），
由

1 -1 -1 1

0 0

=

0 0

，

1 -1 -1 1

1 3

=

-2 2

，
得點(diǎn)（0，0），（1，3）在矩陣M所對應(yīng)的變換下的線的像是（0，0），（-2，2），
從而直線y=3x在矩陣M所對應(yīng)的線性變換下的像的方程為y=-x．
（2）選修2：解：（Ⅰ）由ρ=2

5

sinθ得x²+y²-2

5

y=0，即x2+(y-

5

)2=5．
（Ⅱ）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得(3-

2

2

t)2+(

2

2

t)2=5，
即t²-3

2

t+4=0，
由于△=(3

2

)2-4×4=2＞0，
故可設(shè)t₁，t₂是上述方程的兩實(shí)根，
所以

t1+t2=3 2 t1t2=4

，
又直線l過點(diǎn)P（3，

5

），
故由上式及t的幾何意義得：
|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=t₁+t₂=3

2

．
（3）選修3：解：（Ⅰ）由f（x）≤3得|x-a|≤3，解得a-3≤x≤a+3，
又已知不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，
所以

a-3=-1 a+3=5

，解得a=2．
（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|x-2|，
設(shè)g（x）=f（x）+f（x+5），
于是g（x）=|x-2|+|x+3|=

-2x-1，x＜-3 5，-3≤x≤2 2x+1，x＞2

，
所以，當(dāng)x＜-3時(shí)，g（x）＞5；
當(dāng)-3≤x≤2時(shí)，g（x）＞5；
當(dāng)x＞2時(shí)，g（x）＞5．

點(diǎn)評：選作題1主要考查矩陣與變換等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力．計(jì)算量小屬于較容易的題．
選作題2主要考查坐標(biāo)系與參數(shù)方程的關(guān)系，考查直線的參數(shù)方程、圓的極坐標(biāo)方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力．較復(fù)雜．
選修3：本小題涉及不等式，主要考查絕對值的意義、絕對值不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力．較復(fù)雜．