Question

已知函數(shù)y=f（x）（x∈R），滿足f（x+1）=f（x-1），且x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=-|x|+1，則函數(shù)y=f（x）-log₅|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

1. A.
   4
2. B.
   6
3. C.
   8
4. D.
   10

Answer 1

C
分析：先根據(jù)函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x+1）=f（x-1），得出f（x）是周期為2的周期函數(shù)，再把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，利用圖象直接得結(jié)論．
解答：∵函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
又x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=-|x|+1，
根據(jù)函數(shù)的周期性畫出圖形，如圖，再在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=log₅|x|的簡圖，
將函數(shù)y=f（x）-log₅|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)問題，
根據(jù)圖象，∵log₅|±5|=1
∴函數(shù)圖象僅在（0，5），（-5，0）上有8個(gè)交點(diǎn)
∴函數(shù)y=f（x）-log₅|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為8個(gè)
故選C．
點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的周期性，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是正確作出函數(shù)的圖象．