Question

（2012•丹東模擬）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程是

x=t y= 3 t

（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為4ρ²cos2θ-4ρsinθ+3=0．
（Ⅰ）求直線l的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析：（I）將直線化成普通方程，可得它是經(jīng)過原點(diǎn)且傾斜角為

π

3

的直線，由此不難得到直線l的極坐標(biāo)方程；
（II）將直線l的極坐標(biāo)方程代入曲線C極坐標(biāo)方程，可得關(guān)于ρ的一元二次方程，然后可以用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合配方法，可以得到AB的長(zhǎng)度．

解答：解：（I）直線l的參數(shù)方程是

x=t y= 3 t

（t為參數(shù)），化為普通方程得：y=

3

x
∴在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角是

π

3

，
因此，直線l的極坐標(biāo)方程是θ=

π

3

，（ρ∈R）；     …（5分）
（II）把θ=

π

3

代入曲線C的極坐標(biāo)方程，得2ρ²+2

3

ρ-3=0
∴由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得ρ₁+ρ₂=-

3

，ρ₁ρ₂=-

3

2

，
∴|AB|=|ρ₁-ρ₂|=

(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2

=3．  …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題以參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程為例，考查了兩種方程的互化和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．