Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有a_n=3S_n+1成立．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記bn=(-1)n•(2n-1)•an，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，由a₁=3S₁+1求出a1=-

1

2

，又a_n=3S_n+1，a_n+1=3S_n+1+1，相減可得

an+1

an

=-

1

2

，從而求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）先依據(jù)題意求出bn=(-1)n•(2n-1)•(-

1

2

)n=(2n-1)(

1

2

)n，再利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3S₁+1，∴a1=-

1

2

．
又∵a_n=3S_n+1，a_n+1=3S_n+1+1，
∴an+1-an=3an+1，即

an+1

an

=-

1

2

，∴an=(-

1

2

)n．
（2）bn=(-1)n•(2n-1)•(-

1

2

)n=(2n-1)(

1

2

)n，
∴Tn=1×

1

2

+3×(

1

2

)2+5×(

1

2

)3+…+(2n-1)×(

1

2

)n．…①
故

1

2

Tn=(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+(2n-3)×(

1

2

)n+(2n-1)×(

1

2

)n+1．…②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+2×[(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n]-(2n-1)×(

1

2

)n+1，
∴Tn=1+4×

( 1 2 )2[1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-2×(2n-1)×(

1

2

)n+1=1+2[1-(

1

2

)n-1]-2•(2n-1)•(

1

2

)n+1
=3-(n+

3

2

)(

1

2

)n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)之間的關(guān)系，用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題．