Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，則面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA＝PD＝，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O為AD中點．

(Ⅰ)求證：PO⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求異面直線PD與CD所成角的大��；

(Ⅲ)線段AD上是否存在點Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)證明：在△PAD中PA＝PD，O為AD中點，所以PO⊥AD， 　　又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面平面ABCD＝AD，平面PAD， 　　所以PO⊥平面ABCD． 　　(Ⅱ)連結(jié)BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD＝2AB＝2BC， 　　有OD∥BC且OD＝BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形， 　　所以OB∥DC． 　　由(Ⅰ)知，PO⊥OB，∠PBO為銳角， 　　所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角． 　　因為AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1， 　　所以OB＝， 　　在Rt△POA中，因為AP＝，AO＝1，所以OP＝1， 　　在Rt△PBO中，tan∠PBO＝ 　　所以異面直線PB與CD所成的角是． 　　(Ⅲ)假設(shè)存在點Q，使得它到平面PCD的距離為． 　　設(shè)QD＝x，則，由(Ⅱ)得CD＝OB＝， 　　在Rt△POC中， 　　所以PC＝CD＝DP， 　　由Vp－DQC＝VQ－PCD，得2，所以存在點Q滿足題意，此時． 　　解法二： 　　(Ⅰ)同解法一． 　　(Ⅱ)以O為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系O－xyz，依題意，易得A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)， 　　所以 　　所以異面直線PB與CD所成的角是arccos， 　　(Ⅲ)假設(shè)存在點Q，使得它到平面PCD的距離為， 　　由(Ⅱ)知 　　設(shè)平面PCD的法向量為n＝(x0，y0，z0)． 　　則所以即， 　　取x0＝1，得平面PCD的一個法向量為n＝(1，1，1)． 　　設(shè)由，得解y＝－或y＝(舍去)， 　　此時，所以存在點Q滿足題意，此時． 　　本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成角、點到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．滿分12分．