Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）在已知極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以ρ后，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與x2＝4y由韋達(dá)定理以及參數(shù)的幾何意義和弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)與已知弦長(zhǎng)相等可解得．

解：（1）在ρ+ρcos2θ＝8sinθ中兩邊同時(shí)乘以ρ得ρ2+ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝8ρsinθ，

∴x2+y2+x2﹣y2＝8y，即x2＝4y，

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x2＝4y．

（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與x2＝4y得：（cosα）2t2﹣4（sinα）t+4＝0，

設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，

由△＝16sin2α﹣16cos2α＞0，得sinα＞，

t1+t2＝，由|PM|＝，

所以20sin2α+9sinα﹣20＝0，解得sinα＝或sinα＝﹣（舍去），

所以sinα＝．