Question

已知函數(shù)f（x）=x-1-

lnx

x

（x＞0）及h（x）=x²-1+lnx（x＞0）
（I）判斷函數(shù)h（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并求出h（1）的值；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及其在定義域上的最小值；
（III）是否存在實(shí)數(shù)m，n，滿足1≤m＜n，使得函數(shù)f（x）在[m，n]的值域也有[m，n]？并說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵h(yuǎn)'（x）=2x+

1

x

，又因?yàn)閤＞0，所以h'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立
即函數(shù)h（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增，（2分）
且h（1）=0（4分）
（Ⅱ）f'（x）=

x2-1+lnx

x2

=

h(x)

x2

（x＞0）
由（Ⅰ）函數(shù)h（x）=x²-1+lnx在（0，+∞）上是單調(diào)遞增，且h（1）=0可知：
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＜0，所以有f'（x）＜0；
當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＞0，所以有f'（x）＞0．（7分）
即函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．（8分）
所以函數(shù)f（x）在x=1處取得最小值f（1）=0（9分）
（Ⅲ）不存在（10分）
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)滿足1≤m＜n，函數(shù)f（x）在[m，n]也是增函數(shù)．
若函數(shù)f（x）在[m，n]的值域也有[m，n]，則有f（m）=m，f（n）=n，
也即函數(shù)y=f（x）與直線y=x在[1，+∞）上至少有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
也即g（x）=f（x）-x在[1，+∞）上至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
又g（x）=f（x）-x在區(qū)間[1，e）上是減函數(shù)，且g（1）=f（1）-1=-1，
當(dāng)x∈[e，+∞）為增函數(shù)，且g（x）＜0．
∴函數(shù)g（x）=f（x）-x在[1，+∞）上沒有零點(diǎn)，
所以不存在實(shí)數(shù)m，n，滿足1≤m＜n，使得函數(shù)f（x）在[m，n]的值域也有[m，n]．（13分）