Question

19．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的左右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若△F₁F₂P為直角三角形，該三角形的面積為$\frac{48}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)P點(diǎn)為橢圓的上下頂點(diǎn)時，∠F₁F₂P取到最大值即可判斷出∠F₁F₂P=90°，求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而求出△PF₁F₂的面積．

解答 解：當(dāng)P點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)時，△F₁F₂P為直角三角形，
∠F₁F₂P最大，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得∠F₁F₂P=90°；
∴∠F₁PF₂不可能是直角；
∴只能是PF₂⊥x軸；橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的右焦點(diǎn)（3，0），2c=6，|F₂P|=$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{16}{5}$．
三角形的面積為：$\frac{1}{2}×6×\frac{16}{5}$=$\frac{48}{5}$/
故答案為：$\frac{48}{5}$．

點(diǎn)評 考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的焦點(diǎn)及頂點(diǎn)，以及∠F₁F₂P取到最大值是解題的關(guān)鍵．