已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直,D是底面三角形內(nèi)一點,且∠DPA=45°,∠DPB=60°,則∠DPC=
60°
60°
分析:構(gòu)造一個以PD為體對角線的長方體,在這個幾何體中設(shè)PA=1,在直角三角形中由∠DPA=45°,∠DPB=60°求出體對角線長和面對角線CD的長,即可得所求角
解答:解:過點D作平面垂直于PA,交PA于A點,交平面PAC于AE,交平面PAB于AM
過點D作平面垂直于PB,交PB于B點,交平面PBC于BF,交平面PAB于BM
過點D作平面垂直于PC,交PC于C點,交平面PAC于EC,交平面PBC于FC
則六面體APBM-ECFD是一個長方體
設(shè)PA=1,∵∠DPA=45°,∴PD=
2

∵∠DPB=60°∴PB=
2
2
,∴PM=
12+(
2
2
)
2
=
6
2

在直角三角形PCD中,CD=PM=
6
2
,PD=
2

∴sin∠DPC=
3
2

∴∠DPC=60°
故答案為60°
點評:本題考查了空間想象能力,構(gòu)造幾何體解決問題的能力,解題時要準(zhǔn)確把握線線垂直和線面垂直,在直角三角形中解決問題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩相互垂直,且PA=2
3
,PB=3,PC=2外接球的直徑等于
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知三棱錐P-ABC中,PC⊥底面ABC,AB=BC,D、F分別為AC、PC的中點,DE⊥AP于E.
(Ⅰ)求證:AP⊥平面BDE;
(Ⅱ)若AE:EP=1:2,求截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分的體積比.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知三棱錐P-ABC,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D為AB中點,M為PB的中點,且△PDB是正三角形,PA⊥PC.
(I)求證:DM∥平面PAC;
(II)求證:平面PAC⊥平面ABC;
(Ⅲ)求三棱錐M-BCD的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•河西區(qū)二模)如圖,已知三棱錐P-ABC中,PA⊥面ABC,其中正視圖為Rt△PAC,AC=2
6
,PA=4,俯視圖也為直角三角形,另一直角邊長為2
2

(Ⅰ)畫出側(cè)視圖并求側(cè)視圖的面積;
(Ⅱ)證明面PAC⊥面PAB;
(Ⅲ)求直線PC與底面ABC所成角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•黃浦區(qū)二模)已知三棱錐P-ABC的棱長都是2,點D是棱AP上不同于P的點.
(1)試用反證法證明直線BD與直線CP是異面直線.
(2)求三棱錐P-ABC的體積VP-ABC

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案