Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，
（1）以向量方向為側(cè)視方向，側(cè)視圖是什么形狀？
（2）求證：CN∥平面AMD；
（3）求面AMN與面NBC所成二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意可得MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，BC=MD=NB，進而得到幾何體的側(cè)視圖．
（2）證明線面平行只要證明面面平行，即證明一個平面內(nèi)的兩個相交直線分別于另一個平面平行．
（3）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立直角坐標系，分別求出兩個平面的法向量，再利用向量的有關(guān)運算求出兩個向量的夾角，進而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．
解答：解：（1）因為MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，BC=MD=NB，
所以側(cè)視圖是正方形及其兩條對角線；
（2）∵ABCD是正方形，BC∥AD，
∴BC∥平面AMD；
又因為MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，
∴MD∥NB，∴NB∥平面AMD，
∴平面BNC∥平面AMD，
∴CN∥平面AMD；
（3）以D為坐標原點，DA，DC，DM分別為x，y，z軸建立圖示空間直角坐標系，
則：A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0）．N（1，1，1），M（0，0，1），
所以，，
設(shè)平面AMN的一個法向量為，
由得：
令z=1得：．
易知：是平面NBC的一個法向量．
所以，
∴面AMN與面NBC所成二面角的余弦值為．
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征得到空間中的線面關(guān)系，進而建立坐標系利用向量的有關(guān)運算解決空間角、空間距離與體積等問題．