Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωxcosωx+cos²ωx，x∈R，ω＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若函數(shù)f（x）的最小正周期為

π

2

，則當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，然后，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行確定該函數(shù)的值域即可；
（2）根據(jù)周期公式，確定ω=2，然后，求解函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin2ωx+cos2ωx=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

，
∵x∈R，∴f（x）的值域?yàn)閇-1，1]，
（2）∵f（x）的最小正周期為

π

2

，
∴

2π

2ω

=

π

2

，即ω=2
∴f(x)=2sin(4x+

π

6

)，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴4x+

π

6

∈[

π

6

，

13

6

π]，
∵f（x）遞減，
∴4x+

π

6

∈[

π

2

，

3π

2

]，
由

π

2

≤4x+

π

6

≤

3π

2

，
得到

π

12

≤x≤

π

3

，
∴f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

12

，

π

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換公式、二倍角公式等知識(shí)，屬于綜合性問題，中檔題．