Question

證明：若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x₀處可導(dǎo)，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x₀處連續(xù).

Answer 1

分析：要證明f(x)在點(diǎn)x₀處連續(xù)，必須證明f(x)=f(x₀).根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)x₀處可導(dǎo)的定義，逐步實現(xiàn)兩個轉(zhuǎn)化：一是趨向的轉(zhuǎn)化；二是形式（變?yōu)閷?dǎo)數(shù)定義式）的轉(zhuǎn)化.

證法一：設(shè)x=x₀+Δx,則當(dāng)x→x₀時，Δx→0.f(x)=f(x₀+Δx)

=［f(x₀+Δx)-f(x₀)+f(x₀)］

=［·Δx+f(x₀)］

=·Δx+f(x₀)

=f′(x₀)·0+f(x₀)=f(x₀).

∴函數(shù)f(x)在點(diǎn)x₀處連續(xù).

證法二：∵函數(shù)f(x)在點(diǎn)x₀處可導(dǎo)，

∴在點(diǎn)x₀處有

［f(x)-f(x₀)］=Δy=(·Δx)

=·Δx=f′(x₀)·0=0.

∴f(x)=f(x₀).

∴函數(shù)f(x)在點(diǎn)x₀處連續(xù).