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已知A、B、C三點的坐標分別為A（3，0）、B（0，3）、C(cosα，sinα)，α∈(
π
2
，
3π
2
)．
（1）若|
AC
|=|
BC
|，求角α的值；
（2）若
AC
•
BC
=-1，求
cos2α
sin(α-
π
4
)
的值．
分析：（1）先求出
AC
、
BC
的坐標，根據條件可得|
AC
|2=|
BC
|2，化簡得 sinα=cosα，再由α的范圍求出α的值．
（2）由條件化簡可得sinα+cosα=
2
3
，利用誘導公式及兩角和差的正弦公式、二倍角公式化簡要求的式子為-
2
（cosα+sinα），由此求出結果．
解答：解：（1）
AC
=(cosα-3，sinα)，
BC
=(cosα，sinα-3)，
∵|
AC
|=|
BC
|，
∴|
AC
|2=|
BC
|2，
即（cosα-3）2+sin2α=cos2α+（sinα-3）2，
∴sinα=cosα （4分）
又∵
π
2
＜α＜
3
2
π，∴α=
5
4
π（7分）
（2）∵
AC
•
BC
=cosα(cosα-3)+sinα(sinα-3)=cos2α-3cosα+sin2α-3sinα=-1，
∴sinα+cosα=
2
3
，（10分）
∴
cos2α
sin(α-
π
4
)
=
cos2α-sin2α
2
2
(sinα-cosα)
=
(cosα+sinα)(cosα-sinα)
2
2
(sinα-cosα)
=-
2
（cosα+sinα）=-
2
×
2
3
=
-2
2
3
．（14分）
點評：本題主要考查兩個向量的數量積的公式，同角三角函數的基本關系，兩角和差的正弦公式的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知A，B，C三點的坐標分別是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈(
π
2
，
3π
2
)，若
AC
•
BC
=-1，則
1+tanα
2sin2α+sin2α
的值為（　�。�
A、-
5
9
B、-
9
5
C、2
D、3

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A、B、C三點的坐標分別為A（3，0）、B（3，0）、C（cosα，sinα）且
AC
•
BC
=-
1
2
．求：
（Ⅰ）sinα+cosα的值；
（Ⅱ）
sin(π-4α)•cos2(π-α)
1+sin(
π
2
+4α)
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A，B，C三點的坐標分別為A（0，1），B（2，2），C（3，5），則cosA=（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A，B，C三點的坐標分別是A(0，
3
2
)，B（0，3），C（cosθ，sinθ），其中
π
2
＜θ＜
3π
2
，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）當0≤x≤
π
2
時，求函數f（x）=2sin（2x+θ）的最大值和最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A、B、C三點的坐標分別為（1，1）、（3，2）、（2，k+1），若△ABC為等腰三角形，求k的值．

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