Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2且（n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題得：a_n+1（a_n+n）=2（n+1）a_n，即a_na_n+1+na_n+1=2（n+1）a_n，故．由此能夠數(shù)列為等比數(shù)列，并能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由，知，由此能夠證明（n∈N^*）．
解答：（本小題滿分14分）
解：（1）由題得：a_n+1（a_n+n）=2（n+1）a_n，
即a_na_n+1+na_n+1=2（n+1）a_n，
故即數(shù)列為等比數(shù)列，…（3分）
∴，
∴…（7分）
（2）由（1）知…（8分）
∴
…（14分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列、不等式知識．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識．