Question

知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為，直線l的方程為： 

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知直線l與橢圓相交于、兩點(diǎn)

①若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求斜率的值；

②已知點(diǎn)，求證：為定值

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）（1），（2）定值為 

【解析】

試題分析：(1) 橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形,可以看作是以長(zhǎng)為底邊，高為的等腰三角形，故面積為，從而可以列出等式，又由離心率得及，可解出，從而求出橢圓的方程 （2）直線和橢圓相交，其方程聯(lián)立方程組，消去，可得關(guān)于的二次方程，利用韋達(dá)定理可得，這就是相交弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求出，把用坐標(biāo)表示出來(lái)，借助（1）中的二次方程得出的代入，就可證明出定值

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042504175117674903/SYS201404250418441298501484_DA.files/image017.png">滿足，，      2分

，解得，，

則橢圓方程為       4分

（Ⅱ）（1）設(shè)，將代入并化簡(jiǎn)得

      6分

，

則是上述方程的解

，      7分

因?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042504175117674903/SYS201404250418441298501484_DA.files/image027.png">的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得    9分

（2）由（1），，

，為定值

考點(diǎn)：（Ⅰ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；（Ⅱ）直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題