Question

已知曲線f（x）=x（a+b•lnx）過點(diǎn)P（1，3），且在點(diǎn)P處的切線恰好與直線2x+3y=0垂直．
求（Ⅰ） 常數(shù)a，b的值；（Ⅱ）f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對函數(shù)f（x）=x（a+b•lnx）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)P處切線斜率是

3

2

，可得出即a+b=

3

2

；然后根據(jù)曲線f（x）=x（a+b•lnx）過點(diǎn)P（1，3），求出a、b的值；
（Ⅱ）首先對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解�。á瘢⿹�(jù)題意f（1）=3，所以a=3（1）
f′(x)=(a+blnx)+x•b•

1

x

=a+b+blnx，
又曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率為

3

2

，
∴f'（1）=3，即a+b=

3

2

（2）
由（1）（2）解得a=3 ，b=-

3

2

．
（Ⅱ）f′(x)=

3

2

-

3

2

lnx=

3

2

(1-lnx)．
∴當(dāng)x∈（0，e）時，f'（x）＞0；當(dāng)x∈（e，+∞）時，f'（x）＜0．
∴f（x）的單調(diào)區(qū)間為（0，e），（e，+∞），在區(qū)間（0，e）上是增函數(shù)，在區(qū)間（e，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評：考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，此題難度不大．