Question

已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5．E，F(xiàn)分別在AD，BC上．且AE=1，BF=3，沿EF將四邊形AEFB折成四邊形A′EFB′，使點(diǎn)B′在平面CDEF 上的射影H在直線DE上．
（I）求證：A′D∥平面B′FC
（II）求二面角A′-DE-F的大小

．

Answer 1

（I）證明：∵A^′E∥B^′F，A^′E?平面B^′FC，B^′F?平面B^′FC．
∴A^′E∥平面B^′FC，
由DE∥FC，同理可得DE∥平面B^′FC，
又∵A^′E∩DE=E．
∴平面A^′ED∥平面B^′FC，
∴A^′D∥平面B^′FC．
（II）解：如圖，過(guò)E作ER∥DC，過(guò)E作ES⊥平面EFCD，
分別以ER，ED，ES為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
∵B^′在平面CDEF上的射影H在直線DE上，設(shè)B^′（0，y，z）（y，z∈R⁺）．
∵F（2，2，0），，B^′F=3．
∴解得．
∴B^′（0，1，2）．
∴．
∴=．
設(shè)平面A^′DE的法向量為，又有．
∴得，令x=1，則z=1，y═0，得到．
又∵平面CDEF的法向量為．
設(shè)二面角A^′-DE-F的大小為θ，顯然θ為鈍角
∴=．
∴θ=135°．
分析：（I）利用線面平行的判定定理可得A^′E∥平面B^′FC，DE∥平面B^′FC，又A^′E∩DE=E．由面面平行的判定定理可得平面A^′ED∥平面B^′FC，再利用面面平行的性質(zhì)定理可得線面平行；
（II）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用B^′在平面CDEF上的射影H在直線DE上，設(shè)B^′（0，y，z）（y，z∈R⁺）及F（2，2，0），，B^′F=3，可得到點(diǎn)B^′的坐標(biāo)，分別求出平面A^′DE的法向量、平面CDEF的法向量，利用法向量的夾角即可得到二面角．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面平行的判定定理、面面平行的判定和性質(zhì)定理、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量的夾角求二面角是解題的關(guān)鍵．