Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log_ax（0＜a＜1）．
（Ⅰ）若f（x²-x）＞f（2），求x的取值范圍；
（Ⅱ）記函數(shù)f（x）的反函數(shù)為g（x），若a+kg（x-1）≥0在[2，+∞）上恒成立，求k的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，
因為0＜a＜1，所以0＜x²-x＜2，…
解x²-x＜2，得-1＜x＜2．
解x²-x＞0，得x＞1或x＜0．
所以x的取值范圍是{x|-1＜x＜0或1＜x＜2}．…
（Ⅱ）g（x）為f（x）的反函數(shù)，所以g（x）=a^x．…
由已知a+ka^x-1≥0在區(qū)間[2，+∞）上恒成立，
因為a^x-1＞0，所以在區(qū)間[2，+∞）上恒成立，…
即k大于等于的最大值．…
因為0＜a＜1，所以，又x-2∈[0，+∞），
所以的最小值為1，的最大值為-1，…
所以k≥-1，
所以k的最小值為-1．…
分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）=log_ax，把其代入不等式f（x²-x）＞f（2），注意0＜a＜1，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，可以得到一個一元二次不等式，從而求解；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)f（x）的反函數(shù)為g（x），求出g（x），根據(jù)a+kg（x-1）≥0在[2，+∞）上恒成立，將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間[2，+∞）上恒成立，求出的最大值即可；
點評：此題主要考查函數(shù)恒成立的問題，以及不等式的求法，是一道基礎(chǔ)題，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查的知識點比較全面；