已知在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，an+1-2an+an-1-1=0（n≥2，n∈N*）．
（1）求證：數(shù)列{an-an-1}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

（1）證明∵an+1-2an+an-1-1=0
∴an+1-an-（an-an-1）=1
又∵a2-a1=1
∴數(shù)列{an-an-1}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列
（II）解：由（I）可得，an-an-1=1+（n-1）=n
∴a2-a1=2
a3-a2=3
…
an-an-1=n
以上n-1個(gè)式子相加可得，an-a1=2+3+…+n
∴an=1+2+3+…+n=
分析：（I）由an+1-2an+an-1-1=0可得an+1-an-（an-an-1）=1，從而可得數(shù)列{an-an-1}是等差數(shù)列
（II）解：由（I）可得，an-an-1=1+（n-1）=n，利用疊加可求通項(xiàng)
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用構(gòu)造證明等差數(shù)列，體現(xiàn)了定義的應(yīng)用，疊加法求解數(shù)列的通項(xiàng)，屬于基本方法的應(yīng)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2=an(Sn-
1
2
)．
（Ⅰ） 求Sn的表達(dá)式；
（Ⅱ） 設(shè)bn=
Sn
2n+1
，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在數(shù)列{an}中，a1=7，an+1=
7anan+7
，計(jì)算這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，并猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在數(shù)列{an}中，an≠0，（n∈N*）．求證：“{an}是常數(shù)列”的充要條件是“{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•河北區(qū)一模）已知在數(shù)列{an}中，Sn是前n項(xiàng)和，滿足Sn+an=n，（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）令bn=（2-n）（an-1）（n=1，2，3，…），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在數(shù)列{an}中，a1=
1
2
，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn=n2an-n（n-1）．
（1）證明：數(shù)列{
n+1
n
Sn}是等差數(shù)列；
（2）令bn=（n+1）（1-an），記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．
①求證：當(dāng)n≥2時(shí)，Tn2＞2(
T2
2
+
T3
3
+…+
Tn
n
)；
②）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，bn+1+bn+2+…+b2n＜
4
5
-
1
2n+1
．

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