Question

設(shè)f₁（x）=

2

1+x

，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，且a_n=

fn(0)-1

fn(0)+2

，則a₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)條件求出數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到結(jié)論．

解答：解：∵f₁（x）=

2

1+x

，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，
∴a_n=

fn(0)-1

fn(0)+2

=
∵f₁（0）=2，a1=

f1(0)-1

f1(0)+2

=

1

4

，
∴f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]，
∴f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]=

2

1+fn(0)

，
∴an+1=

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=

2 1+fn(0) -1

2 1+fn(0) +2

=

1-fn(0)

4+2fn(0)

=-

1

2

an，
∴數(shù)列{a_n}是以

1

4

為首項(xiàng)，-

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴an=

1

4

•(-

1

2

)n-1，
∴a₂₀₁₄=

1

4

•(-

1

2

)2013=(-

1

2

)2015．
故答案為：（-

1

2

）²⁰¹⁵

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，利用條件構(gòu)造數(shù)列，并證明數(shù)列是等比數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．