Question

如圖（1），等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠ABC=60°，E是BC的中點，將△ABE沿AE折起，得到如圖（2）所示的四棱錐B′-AECD，連結(jié)B′C，B′D，F(xiàn)是CD的中點，P是B′C的中點，且PF=

6

2

．

（1）求證：AE⊥平面PEF；
（2）求二面角B′-EF-A的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）設(shè)AE中點為M，由已知條件推導出AE⊥平面B′DM，平面B′DM∥平面PEF，由此能證明AE⊥平面PEF．
（2）以M為原點，以ME為x軸，以MD為y軸，以MB′為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B′-EF-A的余弦值．

解答： （1）證明：設(shè)AE中點為M，
∵在等腰梯形ABCD中，
AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中點，
∴△ABE與△ADE都是等邊三角形．
∴B′M⊥AE，DM⊥AE．
∵B′M∩DM=M，B′M、DM?平面B′DM，
∴AE⊥平面B′DM，
∵EF∥DM，PF∥B′ D，EF∩PF=F，
EF、PF?平面PEF，DM，B′D?平面B′DM，
∴平面B′DM∥平面PEF，
∴AE⊥平面PEF．
（2）解：由（1）知B′M=DM=

4-1

=

3

，
∵F是CD的中點，P是B′C的中點，且PF=

6

2

，
∴PD=

6

，∴BM²+DM²=PD²，
∴MB′，ME，MD兩兩垂直，
∴以M為原點，以ME為x軸，以MD為y軸，以MB′為z軸，
建立空間直角坐標系，
由題意知：B′（0，0，

3

），E（1，0，0），F(xiàn)（1，

3

，0），A（-1，0，0），
∴

EB′

=（-1，0，

3

），

EF

=（0，

3

，0），

EA

=（-2，0，0），
設(shè)平面EFB′的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • EB′ =-x+ 3 z=0 n • EF = 3 y=0

，取x=

3

，得

n

=(

3

，0，1)，
由題意知平面AEF的法向量

m

=(0，0，1)，
∵cos＜

n

，

m

＞=

1

2

，
∴二面角B′-EF-A的余弦值為

1

2

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．