對于整數(shù)，存在唯一一對整數(shù)和，使得，. 特別地，當時，稱能整除，記作，已知.

（Ⅰ）存在，使得，試求，的值；

（Ⅱ）若，（指集合B 中的元素的個數(shù)），且存在，，，則稱B為“諧和集”.請寫出一個含有元素7的“諧和集”和一個含有元素8的非“諧和集”，并求最大的，使含的集合有12個元素的任意子集為“諧和集”，并說明理由.

【解析】（Ⅰ）因為，所以.   …………………2分

又因為，所以.          ……………………………4分

（Ⅱ）含有元素7的一個“和諧集”.…5分

含有元素8的一個非“和諧集”.…7分

當時，記，，

記，則.

顯然對任意，不存在，使得成立. 故是非“和諧集”，此時.

同理，當時，存在含的集合的有12個元素的子集為非“和諧集”.

因此.　                 …………………………………………………10分

下面證明：含7的任意集合的有12個元素的子集為“和諧集”.

設，若1，14，21中之一為集合的元素，顯然為“和諧集” .

現(xiàn)考慮1，14，21都不屬于集合，構(gòu)造集合，，

，，，.…12分

以上每個集合中的元素都是倍數(shù)關系.考慮的情況，也即中5個元素全都是的元素，中剩下6個元素必須從這5個集合中選取6個元素，那么至少有一個集合有兩個元素被選，即集合中至少有兩個元素存在倍數(shù)關系.

綜上，含7的任意集合的有12個元素的子集為“和諧集”，即的最大值為7.    

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•朝陽區(qū)二模）對于正整數(shù)a，b，存在唯一一對整數(shù)q和r，使得a=bq+r，0≤r＜b．特別地，當r=0時，稱b能整除a，記作b|a，已知A={1，2，3，…，23}．
（Ⅰ）存在q∈A，使得2011=91q+r（0≤r＜91），試求q，r的值；
（Ⅱ）求證：不存在這樣的函數(shù)f：A→{1，2，3}，使得對任意的整數(shù)x1，x2∈A，若|x1-x2|∈{1，2，3}，則f（x1）≠f（x2）；
（Ⅲ）若B⊆A，card（B）=12（card（B）指集合B 中的元素的個數(shù)），且存在a，b∈B，b＜a，b|a，則稱B為“和諧集”．求最大的m∈A，使含m的集合A的有12個元素的任意子集為“和諧集”，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•朝陽區(qū)二模）對于整數(shù)a，b，存在唯一一對整數(shù)q和r，使得a=bq+r，0≤r＜|b|．特別地，當r=0時，稱b能整除a，記作b|a，已知A={1，2，3，…，23}．
（Ⅰ）存在q∈A，使得2011=91q+r（0≤r＜91），試求q，r的值；
（Ⅱ）若B⊆A，card（B）=12（card（B）指集合B 中的元素的個數(shù)），且存在a，b∈B，b＜a，b|a，則稱B為“諧和集”．請寫出一個含有元素7的“諧和集”B0和一個含有元素8的非“諧和集”C，并求最大的m∈A，使含m的集合A有12個元素的任意子集為“諧和集”，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于整數(shù)，存在唯一一對整數(shù)和，使得，. 特別地，當時，稱能整除，記作，已知.

（Ⅰ）存在，使得，試求，的值；

（Ⅱ）若，（指集合B 中的元素的個數(shù)），且存在，，，則稱B為“諧和集”.請寫出一個含有元素7的“諧和集”和一個含有元素8的非“諧和集”，并求最大的，使含的集合有12個元素的任意子集為“諧和集”，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：0119 期中題 題型：解答題

對于正整數(shù)a，b，存在唯一一對整數(shù)q和r，使得a=bq+r，0≤r＜b。特別地，當r=0時，稱b能整除a，記作b|a，已知A={1，2，3，…，23}，
(1)存在q∈A，使得2011=91q+r（0≤r＜91），試求q，r的值；
(2)求證：不存在這樣的函數(shù)f：A→{1，2，3}，使得對任意的整數(shù)x，y∈A，若|x-y|∈{1，2，3}，則f（x）≠f（y）；
(3)若BA，card（B）=12（card（B）指集合B中的元素的個數(shù)），且存在a，b∈B，b＜a，b|a，則稱B為“和諧集”。求最大的m∈A，使含m的集合A的有12個元素的任意子集為“和諧集”，并說明理由。

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