Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N^*）．
（1）試判斷數(shù)列{

1

an

}是否成等差數(shù)列；
（2）設(shè){b_n}滿足b_n=

1

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）若λa_n+

1

an+1

≥λ對(duì)任意n≥2的整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

（1）∵數(shù)列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N^*），
∴a_n-1-a_n=3a_na_n-1，
∴

1

an

-

1

an-1

=3（n≥2）．
故數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列．
（2）由（1）的結(jié)論可得b_n=

1

an

=1+（n-1）×3，
所以b_n=3n-2，
∴S_n=

n(1+3n-2)

2

=

n(3n-1)

2

．
（3）將a_n=

1

bn

=

1

3n-2

代入λa_n+

1

an+1

≥λ并整理得λ（1-

1

3n-2

）≤3n+1，
∴λ≤

(3n+1)(3n-2)

3n-3

，
原命題等價(jià)于該式對(duì)n≥2恒成立．
設(shè)C_n=

(3n+1)(3n-2)

3n-3

，
則C_n+1-C_n=

(3n+1)(3n-4)

3n(n-1)

＞0，C_n+1＞C_n，
∵n=2時(shí)，C_n的最小值C₂為

28

3

，
∴λ的取值范圍是（-∞，

28

3

]．