Question

如圖：點(diǎn)P在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面對(duì)角線BC₁上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題：
①三棱錐A-D₁PC的體積不變；
②A₁P∥面ACD₁；
③DP⊥BC₁；
④面PDB₁⊥面ACD₁．
其中正確的命題的序號(hào)是     ．

Answer 1

【答案】分析：如右圖，對(duì)于①，容易證明AD₁∥BC₁，從而BC₁∥平面AD₁C，以P為頂點(diǎn)，平面AD₁C為底面，易得；對(duì)于②，連接A₁B，A₁C₁容易證明平面BA₁C₁∥面ACD₁，從而由線面平行的定義可得；
對(duì)于③，由于DC⊥平面BCB₁C₁，所以DC⊥BC₁平面，若DP⊥BC₁，則DC與DP重合，與條件矛盾；對(duì)于④，容易證明PDB₁⊥面ACD₁，從而可以證明面面垂直．
解答：解：對(duì)于①，容易證明AD₁∥BC₁，從而BC₁∥平面AD₁C，故BC₁上任意一點(diǎn)到平面AD₁C的距離
均相等，所以以P為頂點(diǎn)，平面AD₁C為底面，則三棱錐A-D₁PC的體積不變；正確；
對(duì)于②，連接A₁B，A₁C₁容易證明A₁C₁∥AD₁且相等，由于①知：AD₁∥BC₁，
所以BA₁C₁∥面ACD₁，從而由線面平行的定義可得；正確；
對(duì)于③由于DC⊥平面BCB₁C₁，所以DC⊥BC₁平面，若DP⊥BC₁，則DC與DP重合，與條件矛盾；錯(cuò)誤；對(duì)于④，連接DB₁，容易證明DB₁⊥面ACD₁，從而由面面垂直的判定知：正確．
故答案為：①②④
點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱錐體積求法中的等體積法；線面平行、垂直的判定，要注意使用轉(zhuǎn)化的思想．