Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，過對角線BD₁的一個平面交AA₁于E，交CC₁于F，則面BFD₁E與底面A₁B₁C₁D₁所成的二面角的最小值為

π

4

．

Answer 1

分析：在平面AA₁D₁D中，過E作EH⊥D₁D于H，過H作HG⊥D₁F于G，連接EG．根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，可證出∠EGH就是面BFD₁E與底面A₁B₁C₁D₁所成的二面角的平面角．設(shè)正方體棱長為1，C₁F=x，利用三角形相似算出HG=

1-x

1+x2

，再結(jié)合Rt△EGH中正切的定義，可得當(dāng)HG取最大值1時，面BFD₁E與底面A₁B₁C₁D₁所成的二面角取到最小值

π

4

．

解答：解：在平面AA₁D₁D中，過E作EH⊥D₁D于H，過H作HG⊥D₁F于G，連接EG
∵平面AA₁D₁D⊥平面CC₁D₁D，平面AA₁D₁D∩平面CC₁D₁D=EH，EH⊥D₁D
∴EH⊥平面CC₁D₁D，
∵D₁F⊆平面CC₁D₁D，∴D₁F⊥EH
∵HG⊥D₁F，EH、HG是平面EHG內(nèi)的相交直線
∴D₁F⊥平面EHG
∵GE⊆平面EHG，
∴EG⊥D₁F，可得∠EGH就是面BFD₁E與底面A₁B₁C₁D₁所成的二面角的平面角
設(shè)正方體棱長為1，C₁F=x，得AE=DH=x，D₁H=1-x，（0≤x≤1）
∵Rt△D₁GH∽Rt△FC₁D₁，
∴

HG

D1C1

=

D1H

D1F

，得HG=

1-x

1+x2

而函數(shù)f（x）=

1-x

1+x2

在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，可得當(dāng)x=0時HG有最大值1，當(dāng)x=1時HG有最小值0．
∵Rt△EGH中，tan∠EGH=

EH

HG

=

1

EG

∴當(dāng)HG取最大值1時，tan∠EGH有最小值1，
此時∠EGH也有最小值

π

4

，即面BFD₁E與底面A₁B₁C₁D₁所成的二面角的最小值為

π

4

故答案為：

π

4

點評：本題在正方體中給出運動的截面，求二面角的最小值，著重考查了空間線面垂直的判定與性質(zhì)和二面角大小的求法等知識，屬于中檔題．