【題目】已知坐標平面上點M(x,y)與兩個定點M1(26,1),M2(2,1)的距離之比等于5.
(1)求點M的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形;
(2)記(1)中的軌跡為C,過點A(﹣2,3)的直線l被C所截得的線段的長為8,求直線l的方程.

【答案】
(1)解:由題意坐標平面上點M(x,y)與兩個定點M1(26,1),M2(2,1)的距離之比等于5,

=5. ,化簡得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23=0.

即(x﹣1)2+(y﹣1)2=25.

∴點M的軌跡方程是(x﹣1)2+(y﹣1)2=25,

所求軌跡是以(1,1)為圓心,以5為半徑的圓


(2)解:當直線l的斜率不存在時,過點A(﹣2,3)的直線l:x=﹣2,

此時過點A(﹣2,3)的直線l被圓所截得的線段的長為:2 =8,

∴l(xiāng):x=﹣2符合題意.

當直線l的斜率存在時,設過點A(﹣2,3)的直線l的方程為y﹣3=k(x+2),即kx﹣y+2k+3=0,

圓心到l的距離d= ,

由題意,得 +42=52,解得k= .∴直線l的方程為 x﹣y+ =0.即5x﹣12y+46=0.

綜上,直線l的方程為x=﹣2,或5x﹣12y+46=0


【解析】(1)直接利用距離的比,列出方程即可求點M的軌跡方程,然后說明軌跡是什么圖形;(2)設出直線方程,利用圓心到直線的距離,半徑與半弦長滿足的勾股定理,求出直線l的方程.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解點到直線的距離公式的相關(guān)知識,掌握點到直線的距離為:

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