Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，且AB=AA₁=1
（1）求證：A₁B⊥B₁C
（2）求點C₁到平面AB₁C的距離；
（3）設二面角A-B₁C-B的大小為θ，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接根據其為直棱柱以及AB=AA₁=1得到AC⊥A₁B和A₁B⊥AB₁；即可得A₁B⊥B₁C；
（2）先根據A₁C₁∥AC把點C₁到平面AB₁C的距離轉化為點A₁到平面AB₁C的距離；再結合第一問的結論即可求出結果；
（3）先建立空間直角坐標系，求出兩個半平面的法向量，再代入向量的夾角計算公式結合不等式即可求出答案．

解答：解：（1）因為在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，且AB=AA₁=1
所以：AC⊥AA₁，⇒AC⊥平面AA₁B₁B⇒AC⊥A₁B①；
又AA₁B₁B為正方形⇒A₁B⊥AB₁；②
由①②⇒A₁B⊥平面ACB₁⇒A₁B⊥B₁C．
（2）∵A₁C₁∥AC⇒A₁C₁∥平面ACB₁⇒
所以點C₁到平面AB₁C的距離等于點A₁到平面AB₁C的距離；
由第一問的結論得：A₁B⊥平面ACB₁⇒A₁到平面AB₁C的距離等于：

A1B

2

=

2

2

．
即點C₁到平面AB₁C的距離為：

2

2

．
（3）以AC為X軸，AB為Y軸，AA₁為Z軸建立直角坐標系；設AC=a
則A（0，0，0），B（0，1，0），C（a，0，0）B₁（0，1，0），A₁（1，0，1）．
∴

AB1

=（0，1，1），

AC

=（a，0，0），

B1B

=（0，0，-1），

BC

=（a，-1，0）．
設平面AB₁C的法向量

n

=（x，y，z）
∵

n

•

AB1

=0，

n

•

AC

=0⇒y+z=0，ax=0⇒

n

=（0，1，-1）；
設平面BB₁C的法向量

m

=（e，f，g）．
∵

m

•

B1B

=0，

m

•

BC

=0⇒g=0，ea-f=0⇒

m

=（1，a，0）．
∴0＜cos＜

n

，

m

＞=

a

2 × 1+a2

=

1

2+ 2 a2

＜

1

2

=

2

2

．
∴θ的取值范圍：（45°，90°）．

點評：本題主要考查線線垂直的證明以及點到面的距離和二面角的求法．是對立體幾何知識的綜合考查，屬于綜合性題目，解決第三問用到了空間向量，直接找二面角的平面角有點麻煩．