Question

（2012•增城市模擬）已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），直線(xiàn)AM，BM相交于點(diǎn)M，且直線(xiàn)BM的斜率與直線(xiàn)AM的斜率的差為1．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)F（0，0）作直線(xiàn)交軌跡C于P，Q兩點(diǎn)，證明以PQ為直徑的圓與直線(xiàn)l：y=-1相切．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（x，y），利用直線(xiàn)BM的斜率與直線(xiàn)AM的斜率的差為1，建立方程，即可求得點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）F（0，0）是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)l：y=-1是拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，取PQ的中點(diǎn)N，過(guò)P，Q，N分別作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足分別為P₁，Q₁，N₁，證明|NN1|=

1

2

(|PP1|+|QQ1|)=

1

2

|PQ|即可．

解答：（1）解：設(shè)M（x，y），則kAM=

y

x+1

，kBM=

y

x-1

（2分）
∵直線(xiàn)BM的斜率與直線(xiàn)AM的斜率的差為1
∴

y

x-1

-

y

x+1

=1（3分）
∴x2=2(y+

1

2

)(y≠0)（5分）
（2）證明：∵P=1，∴F（0，0）是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)l：y=-1是拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，（6分）
取PQ的中點(diǎn)N，過(guò)P，Q，N分別作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足分別為P₁，Q₁，N₁（7分）
則|PF|=|PP₁|，|QF|=|QQ₁|（9分）
∴|PQ|=|PP₁|+|QQ₁|（10分）
∵N為PQ的中點(diǎn)，且NN₁∥PP₁∥QQ₁，|NN1|=

1

2

(|PP1|+|QQ1|)=

1

2

|PQ|（11分）
所以以PQ為直徑的圓與直線(xiàn)l：y=-1相切．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，考查拋物線(xiàn)的定義，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，正確運(yùn)用拋物線(xiàn)的定義是關(guān)鍵．