Question

已知兩個(gè)數(shù)列{S_n}、{T_n}分別：
當(dāng)n∈N^*，S_n=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

，T_n=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

．
（1）求S₁，S₂，T₁，T₂；
（2）猜想S_n與T_n的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）由已知直接利用n=1，2，求出S₁，S₂，T₁，T₂的值；
（2）利用（1）的結(jié)果，直接猜想S_n=T_n，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明，①驗(yàn)證n=1時(shí)猜想成立；②假設(shè)n=k時(shí)，S_k=T_k，通過假設(shè)證明n=k+1時(shí)猜想也成立即可．

解答：解：（1）S₁=1-

1

2

=

1

2

，S₂=1-

1

2

+ 

1

3

-

1

4

=

7

12

T₁=

1

1+1

=

1

2

，T₂=

1

2+1

+

1

2+2

=

7

12

（2分）
（2）猜想：S_n=T_n（n∈N*），即：
1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

．
（n∈N*）（5分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，已證S₁=T₁（6分）
②假設(shè)n=k時(shí)，S_k=T_k（k≥1，k∈N*），
即：1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2k-1

-

1

2k

=

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

（8分）
則：S_k+1=S_k+

1

2k+1

-

1

2(k+1)

=T_k+

1

2k+1

-

1

2(k+1)

（10分）
=

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

-

1

2(k+1)

（11分）
=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k+1

+(

1

k+1

-

1

2(k+1)

)
=

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

2k+1

+

1

2(k+1)

=T_k+1，
由①，②可知，對(duì)任意n∈N*，S_n=T_n都成立．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題的方法，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力．