Question

某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖1；B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2(注：利潤(rùn)和投資單位：萬(wàn)元)．

(1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；
(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬(wàn)元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)．
①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤(rùn)？
②問(wèn)：如果你是廠長(zhǎng)，怎樣分配這18萬(wàn)元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元？

Answer 1

（1）f(x)＝0．25x (x≥0)，g(x)＝2 (x≥0)．（2）①8．25(萬(wàn)元)．②當(dāng)A、B兩種產(chǎn)品分別投入2萬(wàn)元、16萬(wàn)元時(shí)，可使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)8．5萬(wàn)元．

解析試題分析：(1) 設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別投資x萬(wàn)元(x≥0)，所獲利潤(rùn)分別為f(x)、g(x)萬(wàn)元，由題意可設(shè)    f(x)＝k₁x，  g(x)＝k₂，
∴根據(jù)圖象可解得f(x)＝0．25x (x≥0)，  g(x)＝2 (x≥0)．
(2)由(1)得f(9)＝2．25，g(9)＝2＝6，
∴總利潤(rùn)y＝8．25(萬(wàn)元)．
② 設(shè)B產(chǎn)品投入x萬(wàn)元，A產(chǎn)品投入(18－x)萬(wàn)元，企業(yè)可獲總利潤(rùn)
為y萬(wàn)元，   則y＝(18－x)＋2，0≤x≤18．
令＝t，t∈[0,3]，
則y＝(－t²＋8t＋18)＝－(t－4)²＋．
∴當(dāng)t＝4時(shí)，y_max＝＝8．5，此時(shí)x＝16,18－x＝2．
∴當(dāng)A、B兩種產(chǎn)品分別投入2萬(wàn)元、16萬(wàn)元時(shí)，可使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)8．5萬(wàn)元．
考點(diǎn)：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題；函數(shù)的最值。
點(diǎn)評(píng)：研究數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而借鑒數(shù)學(xué)模型，對(duì)提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力，以及提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)都是十分重要的．建立模型的步驟可分為： (1) 分析問(wèn)題中哪些是變量，哪些是常量，分別用字母表示； (2) 根據(jù)所給條件，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，確定等量關(guān)系； (3) 寫(xiě)出的解析式并指明定義域。