【題目】已知橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線 的焦點(diǎn)F重合,且橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與F構(gòu)成正三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過點(diǎn)(1,0)的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)P、Q,試問在x軸上是否存在定點(diǎn)E(m,0),使 恒為定值?若存在,求出E的坐標(biāo)及定值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:由題意知拋物線的焦點(diǎn) ,∴

又∵橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與F構(gòu)成正三角形,∴b=1,

∴橢圓的方程為


(2)解:當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)其斜率為k,則l的方程為:y=k(x﹣1)

代入橢圓方程,消去y,可得(4k2+1)x2﹣8k2x+4k2﹣4=0

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則

=m2﹣m(x1+x2)+x1x2+y1y2= = =

= =

當(dāng) ,即 時(shí), 為定值

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),

可得 ,∴

綜上所述,當(dāng) 時(shí), 為定值


【解析】(1)求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),可得c,再求出b的值,即可求橢圓的方程;(2)分類討論,設(shè)出直線方程,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理,結(jié)合向量的數(shù)量積公式,即可求得結(jié)論.

練習(xí)冊系列答案
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A.21
B.32
C.43
D.54

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A.奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)對稱
B.偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)( ,0)對稱
C.奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)( ,0)對稱
D.偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)對稱

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(1)若f(x)在x=﹣e處取得極值,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣e2 , ﹣e1]上的最大值g(a).

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(2)問是否存在這樣的非負(fù)數(shù)a,b,當(dāng)x∈[a,b]時(shí),f(x)的值域?yàn)閇4a﹣2,6b﹣6]?若存在,求出所有的a,b值;若不存在,請說明理由.

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