已知函數(shù)f(x)=
2
x
+alnx-2(a＞0)．
（1）若對于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，試求a的取值范圍；
（2）記g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．當a=1時，函數(shù)g（x）在區(qū)間[e-1，e]上恰有兩個零點，求實數(shù)b的取值范圍．
（1）f′(x)=-
2
x2
+
a
x
=
ax-2
x2
，由f′（x）＞0解得x＞
2
a
，
由f′（x）＜0得0＜x＜
2
a

∴f（x）在區(qū)間(
2
a
，+∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0，
2
a
)上單調(diào)遞減
∴當x=
2
a
時，函數(shù)f（x）取得最小值ymin=a+aln
2
a
-2
由于對于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以a+aln
2
a
-2＞2(a-1)
解得0＜a＜
2
e
，故a的取值范圍是(0，
2
e
)
（2）依題意得g(x)=
2
x
+lnx+x-2-b，則g′(x)=
x2+x-2
x2

由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1
所以g（x）在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)．
又因為函數(shù)g（x）在區(qū)間[e-1，e]上有兩個零點，
所以
g(e-1)≥0
g(e)≥0
g(1)＜0

解得1＜b≤
2
e
+e-1，
所以b的取值范圍是(1，
2
e
+e-1]．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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