Question

（1）已知|z₁|=|z₂|=|z₁-z₂|=1，求|z₁+z₂|的值；
（2）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，且（3+4i）•z是純虛數(shù)，求

.

z

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)要求復(fù)數(shù)的和的模長，對所求的結(jié)果平方，根據(jù)平方后|z₁|與|z₂|與|z₁-z₂|與|z₁+z₂|四者之間的關(guān)系，把要求的結(jié)果，變化為已知條件，求出結(jié)果．
（2）設(shè)出z復(fù)數(shù)的式子，根據(jù)兩個復(fù)數(shù)的乘積是一個純虛數(shù)，得到a和b之間的關(guān)系，根據(jù)模長是1，又得到一個關(guān)系，根據(jù)列出的方程組求a和b的值，得到復(fù)數(shù)z，寫出共軛復(fù)數(shù)．

解答：解：（1）|z1+z2|2=2(|z1|2+|z2|2)-|z1-z2|2=3，|z1+z2|=

3

（2）設(shè)z=a+bi，（3+4i）•z=（3+4i）（a+bi）=3a-4b+（4a+3b）i是純虛數(shù)，
則3a-4b=0

a2+b2 =1 3a-4b=0

?

a= 4 5 b= 3 5

，或

a=- 4 5 b=- 3 5

，

.

z

=

4

5

-

3

5

i，或-

4

5

+

3

5

i

點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)的模長的運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，是一個綜合題，本題第一問所用的方法比較靈活．