Question

在如圖所示的多面體中，⊥平面， ，，，，，，是的中點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）求二面角的平面角的余弦值.  

Answer 1

 解：（1） 解法1

證明：∵平面，平面，

∴，                                  

又，平面，

∴平面.    

過作交于，則平面.

∵平面，

∴.           

∵，∴四邊形平行四邊形，

∴，

∴，又，

∴四邊形為正方形，

∴，                                       

又平面，平面,

∴⊥平面.                            

∵平面,

∴.                           

（2）∵平面，平面

∴平面⊥平面

由（1）可知

∴⊥平面

∵平面

∴                            

取的中點(diǎn)，連結(jié)，

∵四邊形是正方形，

∴

∵平面，平面

∴⊥平面

∴⊥

∴是二面角的平面角，    

由計(jì)算得

∴        

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

解法2

∵平面，平面，平面，

∴，，

又,

∴兩兩垂直. 

以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由已知得，（0，0，2），（2，0，0），

（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），

（2，2，0）.  

∴，，

∴,    

∴.   

（2）由已知得是平面的法向量.      

設(shè)平面的法向量為，

∵，

∴，即，令,得. 

設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為，

則  

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.