Question

已知f（x）=3^x，f（a+2）=27，函數(shù)g（x）=λ•2^ax-4^x的定義域?yàn)閇0，2]
（1）求a的值
（2）若函數(shù)g（x）的最大值是

1

3

，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合題意得3^a+2=27，利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得實(shí)數(shù)a的值；
（2）令2^x=t，可得g（x）=h（t）=-（t-

1

2

λ）²+

1

4

λ2，其中t∈[1，4]．再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，分別建立關(guān)于λ的方程，解之并加以檢驗(yàn)，最后綜合可得函數(shù)g（x）的最大值是

1

3

時(shí)，實(shí)數(shù)λ的值

4

3

．

解答：解：（1）依題f（a+2）=3^a+2=27，
解之得a+2=3，得a=1   _{--------------------------------------------}（2分）
（2）令2^x=t，由0≤x≤2，可得t∈[1，4]_{-------------------------}（4分）
g（x）=h（t）=-t²+λt=-（t-

1

2

λ）²+

1

4

λ2．t∈[1，4]
①當(dāng)

1

2

λ＜1即λ＜2時(shí)，[h（t）]_max=h（1）=λ-1=

1

3

，
解得λ=

4

3

，符合條件_{-------------------------}（8分）
②當(dāng)1≤

1

2

λ＜4，即2≤λ＜8時(shí)，[h（t）]_max=h（

1

2

λ）=

1

4

λ2=

1

3

解之得λ=±

2 3

3

∉[2，8），不符合題意，舍去_----（9分）
③當(dāng)

1

2

λ≥4，即λ≥8時(shí)，[h（t）]_max=h（4）=4λ-16=

1

3

解之得λ=

49

12

＜8，不符合題意，舍去_{------------------}（11分）
綜上所述，函數(shù)g（x）的最大值是

1

3

時(shí)，實(shí)數(shù)λ的值

4

3

．_{---------------------------}（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出指數(shù)函數(shù)，求特殊函數(shù)值對(duì)應(yīng)的自變量并依此求“類二次函數(shù)”的最值問題．著重考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值討論等知識(shí)，屬于中檔題．