Question

7．已知拋物線Г：y²=4px（p＞0），AB為過拋物線Г焦點(diǎn)的弦，AB的中垂線交拋物線Г于點(diǎn)C，D．若$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{AD}$，則直線AB的方程為（　�。�

• A． y=±（x-p）
• B． y=±2（x-p）
• C． y=±$\frac{2}{3}$（x-p）
• D． y=±$\frac{1}{2}$（x-p）

Answer 1

分析 設(shè)直線AB方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，則CD方程：x=-$\frac{1}{m}$y+2pm²+3p，代入拋物線方程，求得CD的中點(diǎn)，由題意$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{AD}$，則A在以CD為直徑的圓上，則|AN|=|BN|=$\frac{1}{2}$|CD|，即可求得m的值，求得AB的方程．

解答 解：由題意可得，直線AB和坐標(biāo)軸不垂直，y²=4px的焦點(diǎn)F（p，0），
設(shè)l的方程為 x=my+p（m≠0），
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+p}\\{{y}^{2}=4px}\end{array}\right.$，可得y²-4mpy-4p²=0，顯然判別式△=16p²m²+16p²＞0，
y₁+y₂=4mp，y₁•y₂=-4p²．
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M（2pm²+p，2mp），弦長|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|=4p（m²+1）．
又直線CD的斜率為-m，
∴直線CD的方程為 x=-$\frac{1}{m}$y+2pm²+3p．
把線CD的方程代入拋物線方程可得 y²+$\frac{4p}{m}$y-4p²（2m²+3）=0，
∴y₃+y₄=-$\frac{4p}{m}$，y₃•y₄=-4p²（2m²+3）．
故線段CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為N（$\frac{2p}{{m}^{2}}$+2pm²+3p，-$\frac{2p}{m}$），
∴|CD|=$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$|y₃-y₄|=$\frac{4p（{m}^{2}+1）\sqrt{2{m}^{2}+1}}{{m}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{AD}$，則A在以CD為直徑的圓上，則|AN|=|BN|=$\frac{1}{2}$|CD|，
∴$\frac{1}{4}$丨AB丨²+丨MN丨²=$\frac{1}{4}$丨CD丨²，
∴4p²（m²+1）² +（2mp+$\frac{2p}{m}$）²+（$\frac{2p}{{m}^{2}}$+p）=$\frac{1}{4}$•$\frac{16{p}^{2}（{m}^{2}+1）（2{m}^{2}+1）}{{m}^{4}}$，化簡可得 m²-1=0，
∴m=±1，
∴直線AB的方程為 x-y-p=0，或 x+y-p=0．
則y=±（x-p），
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于難題．