Question

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=

sinx

x

，則下列大小關(guān)系正確的是（　　）

• A、f²（x）＜f（x）＜f（x²）
• B、f（x²）＜f²（x）＜f（x）
• C、f（x）＜f（x²）＜f²（x）
• D、f²（x）＜f（x²）＜f（x）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)不等式的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)致之間的關(guān)系判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：根據(jù)三角函數(shù)線的定義知|sinx|≤|x|，∴

|sinx|

|x|

≤1，
∵0＜x＜1，∴0＜

sinx

x

＜1成立，即0＜f（x）＜1，則f²（x）＜f（x），
∵f（x）=

sinx

x

，∴f′（x）=

xcosx-sinx

x2

，
設(shè)g（x）=xcosx-sinx，則g′（x）=-xsinx＜0，（0＜x＜1），
∴g（x）在0＜x＜1上單調(diào)遞減，
則g（x）＜g（0）=0，
∴f′（x）=

xcosx-sinx

x2

＜0，即在0＜x＜1上f（x）單調(diào)遞減，
∵此時(shí)x＞x²，
∴f²（x）＜f（x）＜f（x²），
故選：A．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的值的大小比較，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．