Question

已知數(shù)列a_n的前n項和
（1）令b_n=2ⁿa_n，求證：數(shù)列b_n是等差數(shù)列，并求數(shù)列a_n的通項公式．
（2）令，試比較T_n與的大小，并予以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知S₁=-a₁-1+2=a₁，，所以2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1，b_n=b_n-1+1，再由b₁=2a₁=1，知數(shù)列b_n是首項和公差均為1的等差數(shù)列．于是b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，所以
（2），，利用錯位相減求和法可知，于是確定T_n與的大小關(guān)系等價于比較2ⁿ與2n+1的大�。�猜想當n=1，2時，2ⁿ＜2n+1，當n≥3時，2ⁿ＞2n+1．然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．
解答：解：（1）在中，令n=1，可得S₁=-a₁-1+2=a₁，即
當n≥2時，
所以
所以，即2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1
因為b_n=2ⁿa_n，所以b_n=b_n-1+1，即當n≥2時，b_n-b_n-1=1
又b₁=2a₁=1，所以數(shù)列b_n是首項和公差均為1的等差數(shù)列
于是b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，所以
（2）由1）得
所以①②
由①-②得
所以
于是確定T_n與的大小關(guān)系等價于比較2ⁿ與2n+1的大�。�
猜想當n=1，2時，2ⁿ＜2n+1，當n≥3時，2ⁿ＞2n+1
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當n=3時，顯然成立
假設(shè)當n=k（k≥3）時，2^k＞2k+1成立
則當n=k+1時，2^k+1=2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1
所以當n=k+1時，猜想也成立．
于是，當n≥3，n∈N^*時，2ⁿ＞2n+1成立
綜上所述，當n=1，2時，，
當n≥3時，
點評：本題考查當數(shù)列的綜合運用，難度較大，解題時要認真審題，注意挖掘隱含條件，解題時要注意數(shù)學(xué)歸納法的解題過程．