Question

【題目】已知f（x）=ax2﹣2（a+1）x+3（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在 單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）令h（x）= ，若存在 ，使得|h（x1）﹣h（x2）|≥ 成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=﹣2x+3，顯然滿足；

② ，③ ，

綜上：

（2）解：存在 ，使得|h（x1）﹣h（x2）|≥ 成立即：

在 上，h（x）max﹣h（x）min≥ 成立，

因?yàn)? ，令 ，

則 ， ．

（i）當(dāng)a≤0時(shí)，g（t）在 單調(diào)遞減，所以 ，

等價(jià)于 ，所以a≤0．

（ii）當(dāng)0＜a＜1時(shí)， ，g（t）在 上單調(diào)遞減，

在 上單調(diào)遞增．

①當(dāng) 時(shí)，即 ，g（t）在 單調(diào)遞增．

由 得到 ，所以 ．

②當(dāng) 時(shí)， 時(shí)，g（t）在 單調(diào)遞減，

由 得到 ，所以 ．

③當(dāng) ，即 時(shí)， ，

最大值則在g（2）與 中取較大者，作差比較 ，得到分類討論標(biāo)準(zhǔn)：

a．當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí) ，

由 ，

得到 或 ，

所以 ．

b．當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí)g（t）max=g（2），

由 ，得到 ，

所以此時(shí)a∈，

在此類討論中， ．

c．當(dāng)a≥1時(shí)，g（t）在 單調(diào)遞增，由 ，

得到 ，所以a≥1，

綜合以上三大類情況，

【解析】（1）對(duì)a討論，a=0，a＞0，a＜0，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和單調(diào)性的性質(zhì)，得到不等式組，解不等式即可得到a的范圍；（2）由題意可得在 上，h（x）max﹣h（x）min≥ 成立，因?yàn)? ，令 ，則 ， ．對(duì)a討論，（i）當(dāng)a≤0時(shí)，（ii）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，求出單調(diào)性和最值，即可得到a的范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識(shí)，掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲担�以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�