Question

若方程x²-5x+m=0與 x²-10x+n=0的四個(gè)實(shí)根適當(dāng)排列后，恰好組成一個(gè)首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，則m：n的值為

1

4

．

Answer 1

分析：兩個(gè)方程中的一個(gè)方程的一個(gè)根為1，然后逐一分析當(dāng)1是第一個(gè)方程的根或是第二個(gè)方程的根的情況，由1是方程的一個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求方程的另一個(gè)根，然后結(jié)合四個(gè)數(shù)是等比數(shù)列得到另一個(gè)方程根的取值情況可得．

解答：解：設(shè)1為第一個(gè)方程的根，那么顯然另一個(gè)根為4，m=4；
由于最終的四個(gè)數(shù)排列成為首項(xiàng)是1的等比數(shù)列，
如果是1，4，16，64，就不符合第二個(gè)方程中兩根之和為10的情況，
所以經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，四個(gè)根應(yīng)該為1，2，4，8，那么m=4，n=16．此時(shí)m：n=

1

4

；
如果1是第二個(gè)方程的根，那么n=9，兩個(gè)根分別是1和9，
如果等比數(shù)列前兩項(xiàng)是1，9，則第三第四項(xiàng)不會(huì)是第一個(gè)方程的根，不符合題意，
那么就只有可能是第1項(xiàng)和第4項(xiàng)分別是1和9，那么在第一個(gè)方程中，兩根之積等于9，
但是此時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)根 因此，此題只有唯一的解m：n=

1

4

．
故答案為：

1

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，考查了一元二次方程根的存在條件，涉及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．