Question

求證：

C

0n

+3

C

1n

+5

C

2n

+…+(2n+1)

C

nn

=(n+1)2n．

Answer 1

證明：設(shè)Sn=

C

0n

+3

C

1n

+5

C

2n

+…+(2n+1)

C

nn

   ①
把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得Sn=(2n+1)

C

nn

+(2n-1)

C

n-1n

+…+3

C

1n

+

C

0n

，
又由

C

mn

=

C

n-mn

可得Sn=(2n+1)

C

0n

+(2n-1)

C

1n

+…+3

C

n-1n

+

C

nn

②
①+②得  2Sn=(2n+2)(

C

0n

+

C

1n

+…+

C

n-1n

+

C

nn

)=2(n+1)•2n，
∴Sn=(n+1)•2n，
即：

C

0n

+3

C

1n

+5

C

2n

+…+(2n+1)

C

nn

=(n+1)2n，
原等式得證．