Question

如圖所示，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左、右焦點，雙曲線的左支上有一點P，∠F₁PF₂=

π

3

，且△PF₁F₂的面積為2

3

，又雙曲線的離心率為2，求該雙曲線的方程．

Answer 1

分析：根據(jù)點P是雙曲線的左支上的一點，及雙曲線的定義可知|PF₂|-|PF₁|=2a，由，∠F₁PF₂=

π

3

，且△PF₁F₂的面積為2

3

，可以求得|PF₂|•|PF₁|的值，根據(jù)余弦定理可以求得a，c的一個方程，雙曲線的離心率為2，根據(jù)雙曲線的離心率的定義式，可以求得a，c的一個方程，解方程組即可求得該雙曲線的方程．

解答：解：設(shè)雙曲線方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），P（x₀，y₀）．
在△PF₁F₂中，由余弦定理，得：
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|•cos

π

3

=（|PF₁|-|PF₂|）²+|PF₁|•|PF₂|．
即4c²=4a²+|PF₁|•|PF₂|．
又∵S_△PF1F2=2

3

．
∴

1

2

|PF₁|•|PF₂|•sin

π

3

=2

3

．
∴|PF₁|•|PF₂|=8．∴4c²=4a²+8，即b²=2．
又∵e=

c

a

=2，∴a²=

2

3

．
∴雙曲線的方程為：

3x2

2

-

y2

2

=1．

點評：此題是個中檔題．考查雙曲線的定義和待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，及利用余弦定理解圓錐曲線的焦點三角形，解題過程注意整體代換的方法，簡化計算．