已知曲線C1的參數(shù)方程是數(shù)學公式(φ為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程是ρ=2.正三角形ABC的頂點都在C2上,且A、B、C以逆時針次序排列,點A的極坐標為(2,數(shù)學公式
(Ⅰ)求點A、B、C 的直角坐標;
(Ⅱ)設P為C1上任意一點,求|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范圍.

解:(Ⅰ)由已知可得:A(2cos,2sin)、B( 2cos(),2sin() )、C( 2cos( ),2sin()).
即:A(1,)、B(-2,0)、C(1,-).
(2)設點P(2cos∅,3sin∅),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2,則 S=12cos2∅+27sin2∅+12=15sin2∅+24,
因為0≤sin2∅≤1,所以S的取值范圍是:[24,39].
分析:(Ⅰ)根據點A、B、C都在以原點為圓心、以2為半徑的圓上,x軸的正半軸到0A、OB、OC的角分別為、、,從而求得他們的直角坐標.
(2)設點P(2cos∅,3sin∅),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2,則 S=12cos2∅+27sin2∅+12=15sin2∅+24,再由正弦函數(shù)的有界性,求得|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范圍.
點評:本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法,把極坐標方程化為直角坐標方程的方法,正弦函數(shù)的有界性,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知曲線C1的參數(shù)方程是
x=2cos?
y=3sin?
(φ為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程是ρ=2.正三角形ABC的頂點都在C2上,且A、B、C以逆時針次序排列,點A的極坐標為(2,
π
3

(Ⅰ)求點A、B、C 的直角坐標;
(Ⅱ)設P為C1上任意一點,求|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•黑龍江)選修4-4;坐標系與參數(shù)方程
已知曲線C1的參數(shù)方程是
x=2cos?
y=3sin?
(?為參數(shù))
,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立坐標系,曲線C2的坐標系方程是ρ=2,正方形ABCD的頂點都在C2上,且A,B,C,D依逆時針次序排列,點A的極坐標為(2,
π
3
)

(1)求點A,B,C,D的直角坐標;
(2)設P為C1上任意一點,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(本小題滿分12分)已知曲線C1的參數(shù)方程是 (φ為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程是ρ=2.正三角形ABC的頂點都在C2上,且A、B、C以逆時針次序排列,點A的極坐標為(2,)

  (Ⅰ)求點A、B、C 的直角坐標;

(Ⅱ)設P為C1上任意一點,求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:2012年海南省高考數(shù)學試卷(文科)(全國新課標版)(解析版) 題型:解答題

選修4-4;坐標系與參數(shù)方程
已知曲線C1的參數(shù)方程是,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立坐標系,曲線C2的坐標系方程是ρ=2,正方形ABCD的頂點都在C2上,且A,B,C,D依逆時針次序排列,點A的極坐標為
(1)求點A,B,C,D的直角坐標;
(2)設P為C1上任意一點,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍.

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