已知圓M:(x-2+y2=,若橢圓C:+=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為圓M的圓心,離心率為
(I)求橢圓C的方程;
(II)已知直線(xiàn)l:y=kx,若直線(xiàn)l與橢圓C分別交于A,B兩點(diǎn),與圓M分別交于G,H兩點(diǎn)(其中點(diǎn)G在線(xiàn)段AB上),且|AG|=|BH|,求k的值.
【答案】分析:(I)由圓心M得到.利用橢圓的離心率及b2=a2-c2即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)把直線(xiàn)l的方程與橢圓的方程聯(lián)立,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式即可得到|AB|,利用垂徑定理及半徑、弦長(zhǎng)的一半、弦心距三者之間的關(guān)系即可得到|GH|,進(jìn)而得出k.
解答:解:(I)設(shè)橢圓的焦距為2c,由圓心M得到
,∴c=1.
∴b2=a2-c2=1.
所以橢圓C:
(II)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
由直線(xiàn)l與橢圓C交于兩點(diǎn)A,B,則
消去y得到(1+2k2)x2-2=0,則x1+x2=0,
∴|AB|==
點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離
則|GH|=
顯然,若點(diǎn)H也在線(xiàn)段AB上,則由對(duì)稱(chēng)性可知,直線(xiàn)y=kx就是y軸,矛盾.
∵|AG|=|BH|,∴|AB|=|GH|.
,
解得k2=1,即k=±1.
點(diǎn)評(píng):熟練掌握橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為把直線(xiàn)l的方程與曲線(xiàn)的方程聯(lián)立得到一元二次方程、利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式、垂徑定理及半徑、弦長(zhǎng)的一半、弦心距三者之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
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(Ⅱ)在(Ⅰ)所求軌跡上是否存在一點(diǎn)Q,使得∠MQN為鈍角?若存在,求出點(diǎn)Q橫坐標(biāo)的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.

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(2)過(guò)點(diǎn)(2,0)作直線(xiàn)l,與曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè),是否存在這樣的直線(xiàn)l,使四邊形OASB的對(duì)角線(xiàn)相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直線(xiàn)l的方程;若不存在,試說(shuō)明理由.

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