Question

已知函數(shù)f(x)=

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x3-x2+3，x∈[-1，t]（t＞-1）．
（Ⅰ）當(dāng)t=3時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g(t)=

1

3

(t-2)2，t＞-1．記方程f'（x）=g（t）的解為x₀，x₀∈（-1，t），就t的取值情況討論x₀的個數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，對函數(shù)求導(dǎo)得到f'（x）=x²-2x=x（x-2），可得出當(dāng)t=3時，f（x）在（-1，0），（2，3）上遞增，在（0，2）上遞減，由此函數(shù)的最值與單調(diào)區(qū)間易求得；
（II）解法一：由題意函數(shù)g(t)=

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3

(t-2)2，t＞-1．記方程f'（x）=g（t），可得出x2-2x=

1

3

(t-2)2，由于方程f'（x）=g（t）的解為x₀，x₀∈（-1，t），故可構(gòu)造函數(shù)p(x)=x2-2x-

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3

(t-2)2在x₀∈（-1，t），分類討論x₀的個數(shù)；
解法二：可作出兩函數(shù)f'（x）=x²-2x與g(t)=

1

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(t-2)2，t＞-1的圖象，由圖象對t的取值范圍分類討論得出每一種情況下兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)即可得到x₀的個數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）因為f'（x）=x²-2x=x（x-2）…（1分）
由f'（x）＞0⇒x＞2或x＜0；由f'（x）＜0⇒0＜x＜2，
所以當(dāng)t=3時，f（x）在（-1，0），（2，3）上遞增，在（0，2）上遞減  …（3分）
因為f(-1)=

5

3

，f（0）=3，f(2)=

8

3

-4+3=

5

3

，f（3）=3，
所以當(dāng)x=-1或2時，函數(shù)f（x）取最小值f(-1)=

5

3

，…（5分）
當(dāng)x=0或3時，函數(shù)f（x）取最大值f（0）=3，…（6分）
（Ⅱ）解法1：因為f'（x）=x²-2x，所以x2-2x=

1

3

(t-2)2，
令p(x)=x2-2x-

1

3

(t-2)2，
因為p(-1)=3-

1

3

(t-2)2=-

1

3

(t+1)(t-5)，p(t)=t(t-2)-

1

3

(t-2)2=

2

3

(t+1)(t-2)，…（9分）
所以①當(dāng)t＞5或-1＜t＜2時，p（-2）•p（t）＜0，所以p（x）=0在（-2，t）上有且只有一解…（11分）
②當(dāng)2＜t＜5時，p（-2）＞0且p（t）＞0，但由于p(0)=-

1

3

(t-2)2＜0，
所以p（x）=0在（-2，t）上有兩解       …（13分）
③當(dāng)t=2時，p（x）=x²-2x=0⇒x=0或x=2，所以p（x）=0在（-2，t）上有且只有一解x=0；
當(dāng)t=5時，p（x）=x²-2x-3=0⇒x=-1或x=3，
所以p（x）=0在（-1，5）上也有且只有一解x=3…（14分）
綜上所述，當(dāng)t≥5或-1＜t≤2時，有唯一的x₀適合題意；當(dāng)2＜t＜5時，有兩個x₀適合題意．…（15分）
解法2：畫出f'（x）=x²-2x與g(t)=

1

3

(t-2)2，t＞-1的圖象，
（1）當(dāng)-1＜t≤0時，兩圖象有一個交點，有唯一的x₀適合題意；-------------（8分）
（2）當(dāng)0＜t≤2時，0≤

1

3

(t-2)2＜

4

3

，此時兩圖象有一個交點，有唯一的x₀適合題意；-------------（10分）
（3）當(dāng)2＜t＜5時，因為f'（-1）=f'（3）=3，

1

3

(t-2)2=3得到t₁=-1，t₂=5，0＜

1

3

(t-2)2＜3，此時兩圖象有兩個交點，有兩個x₀適合題意；------（12分）
（4）當(dāng)t=2或t=5時，當(dāng)t=2時，p（x）=x²-2x=0⇒x=0或x=2，所以p（x）=0在（-2，t）上有且只有一解x=0；
當(dāng)t=5時，p（x）=x²-2x-3=0⇒x=-1或x=30＜

1

3

(t-2)2＜3，
此時兩圖象有兩個交點，有兩個x₀適合題意；---------------------（14分）
綜上所述，當(dāng)t≥5或-1＜t≤2時，有唯一的x₀適合題意；
當(dāng)2＜t＜5時，有兩個x₀適合題意．…（15分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用，考查了求導(dǎo)的運算，由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，方程的交點個數(shù)與方程相應(yīng)函數(shù)的交點的對應(yīng)關(guān)系解題的關(guān)鍵是理解題意靈活利用導(dǎo)數(shù)的知識求最值，研究單調(diào)性，本題解題的難點在第二小題，由于t的取值范圍不同，方程的根的個數(shù)不同，故采取了分類討論的方法，本題考查了分類討論的思想，轉(zhuǎn)化的思想，及推理判斷的能力，計算能力，本題綜合性強，運算量大，易出錯，做題時要嚴(yán)謹(jǐn)．